Логическая головоломка недели: как угадывать ящик с призом

Представь, будто исполнилась мечта твой бабушки: ты попал на «Поле чудес». А ведущий издевается — принес три ящика и требует угадать, в каком из них автомобиль с деньгами.

Тупая, казалось бы, задача выбора коробки с призом из трех черных ящиков не один год будоражила умы математиков. Точнее, один особенно азартный частный случай. Опишем его.

Условие задачи

Ведущий сообщает тебе и всем телезрителям по секрету, что ящиков ровно три. Автомобиль, набитый ключами от квартиры, только в одном из них. Другие два ящика пусты.

Ты берешь наугад ящик, но еще не успеваешь открыть. Ведущий тотчас открывает другой ящик — один из двух оставшихся. И его ящик пуст! (См. картинку ниже.)

Таким образом, приз есть либо в той коробке, которую ты уже взял со стола, либо в той, которая осталась у ведущего.

Ведущий задает вопрос: «Какой вы откроете ящик? Оставите себе тот, что выбрали? Или поменяете решение и возьмете закрытый ящик, который у меня?»

Так какой выбор будет более правильным с точки зрения вероятности?

Ответ

Следует отдать уже выбранный ящик и взять другой у ведущего.

Ответ не только не очевиден, но и контринтуитивен: большинство людей поступают наоборот и желают оставить уже выбранную коробку. И они ошибаются. По итогам экспериментов лишь 12% испытуемых совершают верный выбор. То есть большинство осознанно ошибаются, а не действуют наугад, иначе было бы только 50% ошибок.

Что же такое творится?

Объяснение решения

Решение не будет содержать математических формул, однако придется слегка напрячь все свои интеллектуальные извилины, чтобы в итоге прийти к тому же ответу, что и американский статистик Стив Селвин в 1975 году, который в переписке начал спорить с телеведущим одного из американских шоу и в итоге убедил его.

Попробуем описать ход мыслей Селвина как можно короче.

Перед нами три коробки — твоя, ведущего, открытая.

В начале розыгрыша каждая из коробок имеет равный шанс содержать приз, и это 1/3.

Вариант А. Шоумен мог открыть коробку чисто наугад. Тогда шансы, что приз в любой из оставшихся коробок, остается равным и повышается до 1/2. Тут особо гадать нечего, выбирай любую — или твою, или ведущего. Фифти-фифти.

Вариант Б. Шоумен мог открыть коробку осознанно и заранее зная, что она будет пустой. Обычно именно так и происходит в телешоу ради накала страстей. И вот это уже намного интересней!

В момент, когда ты взял твою коробку, ее шансы равнялись 1/3. А шансы двух ящиков ведущего — в сумме 2/3. И вот тут математический парадокс! Ведущий знал, какая из его коробок пустая, так что с точки зрения математики открытие заведомо пустой коробки меняет шансы второй его коробки. На его стороне вероятность 2/3 так и осталась после вскрытия. Только теперь все эти 2/3 принадлежат не паре коробок, а лишь одной неоткрытой коробке ведущего!

Это объяснение люди, далекие от математики, не всегда переваривают, поэтому для них существует более общее описание.

Представь, будто на телешоу не три, а десять коробок. Ты взял себе одну, у нее шанс 1/10. У ведущего 9 коробок, суммарный шанс которых — 9/10, а у каждой из них — те же 1/10.

Свою коробку выбрал (и как бы изъял из игры) ты сам. Ведущий на нее влиять уже никак не может. Ведущий играет только с оставшимися девятью ящиками. В этих девяти, может, есть приз, а может — нет, вероятность 9/10.

Ведущий открывает одну пустую коробку. Осознанно и не наугад — это важно. Шансы твоей коробки не меняются, она вне игры, а вот у каждой из закрытых коробок ведущего повышается шанс на приз где-то на одну десятую. Когда он открывает еще одну пустую, то у каждой из оставшихся вероятность повышается еще сильнее.

И так до тех пор, пока в студии не останутся две закрытые коробки. Твоя коробка с первоначальным шансом 1/10 и последняя коробка ведущего с шансом аж 9/10. Какую же ты выберешь?

Опять не ясно? Тогда чисто художественное описание байки. Тебе завязали глаза и привели в огромный сад, где миллион яблок и лишь одно спелое. Ты наугад сорвал какое-то. Вдруг пришел ураган, который сорвал все неспелые яблоки. На деревьях осталось висеть лишь одно — непонятно только, спелое или нет. И где, по-твоему, с большей вероятностью спелое яблоко — у тебя или в саду?

P.S. Да-да, предвосхищаем твой вопрос: а как меняются шансы при случайном открытии десяти ящиков? Там все проще, ведь суммарная вероятность ящиков ведущего не будет постоянной величиной в 9/10. Она будет падать по мере открытия коробок: 9/10, 8/9, 7/8 пока не дойдет до 1/2 и не сравнятся с твоей коробкой. Только, скорее всего, посреди процесса ведущий случайно откроет ящик с призом и тем самым испортит всю игру. Так что выброси это из головы.

Комментарии

1
под именем
  • Все комментарии
  • Ключевое условие, без которого рассуждение не работает - вся процедура должна быть известна заранее. То есть заранее должно быть известно, что ведущий ОБЯЗАТЕЛЬНО откроет пустую коробку и ОБЯЗАТЕЛЬНО предложит поменять выбор. Если этого нет, рассуждение летит. Если ведущий может решать, предлагать поменять выбор или не предлагать, то совсем не обязательно игроку будет выгодно соглашаться на обмен. Очевидный вариант: ведущий может предлагать поменять выбор только тогда, когда делать этого не нужно. Возможно, именно это простое соображение и мешает интуиции: она не различает ситуации "ведущий сам решает, предложить или нет" и "ведущий обязательно предложит поменять выбор".