Тупая, казалось бы, задача выбора коробки с призом из трех черных ящиков не один год будоражила умы математиков. Точнее, один особенно азартный частный случай. Опишем его.
Условие задачи
Ведущий сообщает тебе и всем телезрителям по секрету, что ящиков ровно три. Автомобиль, набитый ключами от квартиры, только в одном из них. Другие два ящика пусты.
Ты берешь наугад ящик, но еще не успеваешь открыть. Ведущий тотчас открывает другой ящик — один из двух оставшихся. И его ящик пуст! (См. картинку ниже.)
Таким образом, приз есть либо в той коробке, которую ты уже взял со стола, либо в той, которая осталась у ведущего.
Ведущий задает вопрос: «Какой вы откроете ящик? Оставите себе тот, что выбрали? Или поменяете решение и возьмете закрытый ящик, который у меня?»
Так какой выбор будет более правильным с точки зрения вероятности?
Ответ
Следует отдать уже выбранный ящик и взять другой у ведущего.
Ответ не только не очевиден, но и контринтуитивен: большинство людей поступают наоборот и желают оставить уже выбранную коробку. И они ошибаются. По итогам экспериментов лишь 12% испытуемых совершают верный выбор. То есть большинство осознанно ошибаются, а не действуют наугад, иначе было бы только 50% ошибок.
Что же такое творится?
Объяснение решения
Решение не будет содержать математических формул, однако придется слегка напрячь все свои интеллектуальные извилины, чтобы в итоге прийти к тому же ответу, что и американский статистик Стив Селвин в 1975 году, который в переписке начал спорить с телеведущим одного из американских шоу и в итоге убедил его.
Попробуем описать ход мыслей Селвина как можно короче.
Перед нами три коробки — твоя, ведущего, открытая.
В начале розыгрыша каждая из коробок имеет равный шанс содержать приз, и это 1/3.
Вариант А. Шоумен мог открыть коробку чисто наугад. Тогда шансы, что приз в любой из оставшихся коробок, остается равным и повышается до 1/2. Тут особо гадать нечего, выбирай любую — или твою, или ведущего. Фифти-фифти.
Вариант Б. Шоумен мог открыть коробку осознанно и заранее зная, что она будет пустой. Обычно именно так и происходит в телешоу ради накала страстей. И вот это уже намного интересней!
В момент, когда ты взял твою коробку, ее шансы равнялись 1/3. А шансы двух ящиков ведущего — в сумме 2/3. И вот тут математический парадокс! Ведущий знал, какая из его коробок пустая, так что с точки зрения математики открытие заведомо пустой коробки меняет шансы второй его коробки. На его стороне вероятность 2/3 так и осталась после вскрытия. Только теперь все эти 2/3 принадлежат не паре коробок, а лишь одной неоткрытой коробке ведущего!
Это объяснение люди, далекие от математики, не всегда переваривают, поэтому для них существует более общее описание.
Представь, будто на телешоу не три, а десять коробок. Ты взял себе одну, у нее шанс 1/10. У ведущего 9 коробок, суммарный шанс которых — 9/10, а у каждой из них — те же 1/10.
Свою коробку выбрал (и как бы изъял из игры) ты сам. Ведущий на нее влиять уже никак не может. Ведущий играет только с оставшимися девятью ящиками. В этих девяти, может, есть приз, а может — нет, вероятность 9/10.
Ведущий открывает одну пустую коробку. Осознанно и не наугад — это важно. Шансы твоей коробки не меняются, она вне игры, а вот у каждой из закрытых коробок ведущего повышается шанс на приз где-то на одну десятую. Когда он открывает еще одну пустую, то у каждой из оставшихся вероятность повышается еще сильнее.
И так до тех пор, пока в студии не останутся две закрытые коробки. Твоя коробка с первоначальным шансом 1/10 и последняя коробка ведущего с шансом аж 9/10. Какую же ты выберешь?
Опять не ясно? Тогда чисто художественное описание байки. Тебе завязали глаза и привели в огромный сад, где миллион яблок и лишь одно спелое. Ты наугад сорвал какое-то. Вдруг пришел ураган, который сорвал все неспелые яблоки. На деревьях осталось висеть лишь одно — непонятно только, спелое или нет. И где, по-твоему, с большей вероятностью спелое яблоко — у тебя или в саду?
P.S. Да-да, предвосхищаем твой вопрос: а как меняются шансы при случайном открытии десяти ящиков? Там все проще, ведь суммарная вероятность ящиков ведущего не будет постоянной величиной в 9/10. Она будет падать по мере открытия коробок: 9/10, 8/9, 7/8 пока не дойдет до 1/2 и не сравнятся с твоей коробкой. Только, скорее всего, посреди процесса ведущий случайно откроет ящик с призом и тем самым испортит всю игру. Так что выброси это из головы.
